ベクトル $x$ と $x'$ が直交するように、$a$ の値を定める問題です。 (1) $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $x' = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ a \end{pmatrix}$ (2) $x = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, $x' = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ a \\ 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

ベクトル $x$ と $x'$ が直交するように、$a$ の値を定める問題です。

(1) $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $x' = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ a \end{pmatrix}$

(2) $x = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, $x' = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ a \\ 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

ベクトルが直交するための条件は、内積が0になることです。

(1)

$x \cdot x' = 0$ より、

$(1)(7) + (2)(-5) + (3)(a) = 0$

$7 - 10 + 3a = 0$

$3a = 3$

$a = 1$

(2)

$x \cdot x' = 0$ より、

$(4)(2) + (-1)(-3) + (4)(a) + (5)(1) = 0$

$8 + 3 + 4a + 5 = 0$

$16 + 4a = 0$

$4a = -16$

$a = -4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $a = -4$