ラプラス変換を用いて、次の微分方程式を解く問題です。 $y'' - y' - 6y = \delta(t)$ 初期条件は $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$ です。 ここで$\delta(t)$ はデルタ関数であり、そのラプラス変換は $\mathcal{L}[\delta(t)] = 1$ です。

1. 問題の内容

ラプラス変換を用いて、次の微分方程式を解く問題です。

$y'' - y' - 6y = \delta(t)$

初期条件は $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$ です。

ここで$\delta(t)$ はデルタ関数であり、そのラプラス変換は $\mathcal{L}[\delta(t)] = 1$ です。

2. 解き方の手順

1. 微分方程式の両辺をラプラス変換します。$Y(s) = \mathcal{L}[y(t)]$ とおくと、ラプラス変換の性質より、

$\mathcal{L}[y'] = sY(s) - y(0)$

$\mathcal{L}[y''] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

与えられた微分方程式をラプラス変換すると、

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) - 6Y(s) = \mathcal{L}[\delta(t)]$

初期条件 $y(0) = 1$ と $y'(0) = 2$ を代入し、$\mathcal{L}[\delta(t)] = 1$ であることを用いると、

$s^2Y(s) - s - 2 - sY(s) + 1 - 6Y(s) = 1$

$(s^2 - s - 6)Y(s) = s + 2$

$Y(s) = \frac{s + 2}{s^2 - s - 6}$

2. $Y(s)$ を部分分数分解します。

$s^2 - s - 6 = (s - 3)(s + 2)$ なので、

$Y(s) = \frac{s + 2}{(s - 3)(s + 2)} = \frac{1}{s - 3}$

3. $Y(s)$ を逆ラプラス変換して $y(t)$ を求めます。

$y(t) = \mathcal{L}^{-1}[Y(s)] = \mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s - 3}] = e^{3t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = e^{3t}$