与えられた微分方程式 $\alpha e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) dx + \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y)) dy = 0$ の一般解を求め、条件 $x=0$ のとき $y=0$ を満たす解を、選択肢の中から選び出す問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\alpha e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) dx + \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y)) dy = 0$ の一般解を求め、条件 $x=0$ のとき $y=0$ を満たす解を、選択肢の中から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式が完全微分方程式であるかを確認します。

$M(x, y) = \alpha e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y))$

$N(x, y) = \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y))$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \alpha e^{\alpha x} (-\beta \sin(\beta y) + \beta \cos(\beta y)) = \alpha \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y))$

$\frac{\partial N}{\partial x} = \beta e^{\alpha x} \alpha (\cos(\beta y) - \sin(\beta y)) = \alpha \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y))$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ なので、与えられた微分方程式は完全微分方程式です。

したがって、ある関数 $F(x, y)$ が存在し、以下を満たします。

$\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y)$

$\frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)$

$\frac{\partial F}{\partial x} = \alpha e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y))$ を $x$ で積分します。

$F(x, y) = \int \alpha e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) dx = e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) + g(y)$

ここで、$g(y)$ は $y$ だけの関数です。

次に、この $F(x, y)$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial F}{\partial y} = e^{\alpha x} (-\beta \sin(\beta y) + \beta \cos(\beta y)) + g'(y) = \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y)) + g'(y)$

$\frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)$ より、

$\beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y)) + g'(y) = \beta e^{\alpha x} (\cos(\beta y) - \sin(\beta y))$

したがって、$g'(y) = 0$ より、$g(y) = C$（定数）となります。

よって、一般解は $F(x, y) = e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) = C$ となります。

初期条件 $x=0$ のとき $y=0$ を代入すると、

$e^{\alpha \cdot 0} (\cos(\beta \cdot 0) + \sin(\beta \cdot 0)) = C$

$e^0 (\cos(0) + \sin(0)) = C$

$1 (1 + 0) = C$

$C = 1$

したがって、求める解は $e^{\alpha x} (\cos(\beta y) + \sin(\beta y)) = 1$ です。

3. 最終的な答え

1. $e^{\alpha x} \{\cos(\beta y) + \sin(\beta y)\} = 1$