与えられた2階線形同次微分方程式 $4y'' - 12y' + 9y = 0$ の一般解を求め、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$, $y'=2$ を満たす解を、与えられた選択肢の中から選び出す。

1. 問題の内容

与えられた2階線形同次微分方程式 $4y'' - 12y' + 9y = 0$ の一般解を求め、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$, $y'=2$ を満たす解を、与えられた選択肢の中から選び出す。

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を立てて、その解を求める。特性方程式は、与えられた微分方程式の $y''$ を $r^2$, $y'$ を $r$, $y$ を $1$ で置き換えたものである。

特性方程式は $4r^2 - 12r + 9 = 0$ となる。

この2次方程式を解く。これは $(2r - 3)^2 = 0$ と変形できるので、重解 $r = \frac{3}{2}$ を持つ。

重解の場合、一般解は $y = (c_1 + c_2 x) e^{\frac{3}{2}x}$ と表される。ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数である。

次に、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を適用する。

$y(0) = (c_1 + c_2 \cdot 0) e^{\frac{3}{2} \cdot 0} = c_1 e^0 = c_1 = 1$

したがって、$c_1 = 1$ である。

次に、$y'$ を計算する。

$y' = c_2 e^{\frac{3}{2}x} + (c_1 + c_2 x) \frac{3}{2} e^{\frac{3}{2}x} = (c_2 + \frac{3}{2}c_1 + \frac{3}{2}c_2 x) e^{\frac{3}{2}x}$

初期条件 $x=0$ のとき $y'=2$ を適用する。

$y'(0) = (c_2 + \frac{3}{2}c_1 + \frac{3}{2}c_2 \cdot 0) e^{\frac{3}{2} \cdot 0} = c_2 + \frac{3}{2}c_1 = 2$

$c_1 = 1$ を代入すると、$c_2 + \frac{3}{2} = 2$

よって、$c_2 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、$c_1 = 1$ と $c_2 = \frac{1}{2}$ を一般解に代入すると、$y = (1 + \frac{1}{2} x) e^{\frac{3}{2}x} = (\frac{1}{2}x + 1)e^{\frac{3}{2}x}$ となる。

3. 最終的な答え

$y = (\frac{1}{2}x + 1)e^{\frac{3}{2}x}$

選択肢の中で、これと一致するのは5番。