$n$ 変数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ の多項式 $f(x_1, \dots, x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ に対して、$\sigma f(x_1, \dots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})$ と定義する。与えられた $\sigma$ と $f$ の組に対して、$\sigma f$ を求める。

1. 問題の内容

$n$ 変数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ の多項式 $f(x_1, \dots, x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ に対して、$\sigma f(x_1, \dots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})$ と定義する。与えられた $\sigma$ と $f$ の組に対して、$\sigma f$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sigma = (1\ 2), f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$ の場合:

$\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 1, \sigma(3) = 3$ であるから、

$\sigma f = f(x_2, x_1, x_3) = x_2x_1 + 2x_1 + 3x_3 = x_1x_2 + 2x_1 + 3x_3$。

(2) $\sigma = (1\ 2\ 3), f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$ の場合:

$\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 3, \sigma(3) = 1$ であるから、

$\sigma f = f(x_2, x_3, x_1) = x_2x_3 + 2x_3 + 3x_1 = 3x_1 + x_2x_3 + 2x_3$。

(3) $\sigma = (2\ 3), f = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$ の場合:

$\sigma(1) = 1, \sigma(2) = 3, \sigma(3) = 2$ であるから、

$\sigma f = f(x_1, x_3, x_2) = (x_1-x_3)(x_1-x_2)(x_3-x_2) = -(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) = -f$。

(4) $\sigma = (1\ 2\ 3), f = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$ の場合:

$\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 3, \sigma(3) = 1$ であるから、

$\sigma f = f(x_2, x_3, x_1) = (x_2-x_3)(x_2-x_1)(x_3-x_1) = (x_2-x_3)(-(x_1-x_2))(-(x_1-x_3)) = (x_2-x_3)(x_1-x_2)(x_1-x_3) = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) = f$。

3. 最終的な答え

(1) $\sigma f = x_1x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma f = 3x_1 + x_2x_3 + 2x_3$

(3) $\sigma f = -(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$

(4) $\sigma f = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$