与えられた3つの行列をそれぞれ簡約化し、それぞれの行列の階数を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列をそれぞれ簡約化し、それぞれの行列の階数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ の簡約化と階数

まず、1行目を1/2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1/2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & -1/2 \end{bmatrix}$

2行目を-2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の1/2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ です。階数は2です。

(2) 行列 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の簡約化と階数

2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 4 \end{bmatrix}$

2行目を-1倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}$ です。階数は2です。

(3) 行列 $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$ の簡約化と階数

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

簡約化された行列は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ です。階数は2です。

3. 最終的な答え

(1) 簡約化された行列: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, 階数: 2

(2) 簡約化された行列: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}$, 階数: 2

(3) 簡約化された行列: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$, 階数: 2