与えられた特殊解 $x_s = D\cos(\omega_f t) + E\sin(\omega_f t)$ を $G\cos(\omega_f t - \phi)$ の形にまとめ、そのときの $G$, $\cos\phi$, $\sin\phi$ を求める。 次に、$G$ が最大となる $\omega_f$ (共振周波数 $\omega_R$) を求め、そのときの $G$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

与えられた特殊解 $x_s = D\cos(\omega_f t) + E\sin(\omega_f t)$ を $G\cos(\omega_f t - \phi)$ の形にまとめ、そのときの $G$, $\cos\phi$, $\sin\phi$ を求める。

次に、$G$ が最大となる $\omega_f$ (共振周波数 $\omega_R$) を求め、そのときの $G$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x_s = D\cos(\omega_f t) + E\sin(\omega_f t)$ を $G\cos(\omega_f t - \phi)$ の形に変形する。

三角関数の加法定理より、

$G\cos(\omega_f t - \phi) = G\cos\phi \cos(\omega_f t) + G\sin\phi \sin(\omega_f t)$.

したがって、

$D = G\cos\phi$

$E = G\sin\phi$

両辺を2乗して足し合わせると、

$D^2 + E^2 = G^2\cos^2\phi + G^2\sin^2\phi = G^2(\cos^2\phi + \sin^2\phi) = G^2$.

よって、$G = \sqrt{D^2 + E^2}$.

$\cos\phi = \frac{D}{G} = \frac{D}{\sqrt{D^2 + E^2}}$

$\sin\phi = \frac{E}{G} = \frac{E}{\sqrt{D^2 + E^2}}$

(2) $G$ が最大となる $\omega_f = \omega_R$ を求める。問題文に「ビブン」「分母を平方完成」と指示があるので、具体的な $G$ の式が与えられており、その分母を平方完成するか、微分して最大値を求めると思われる。しかし、具体的な $G$ の式が書かれていないため、これ以上の計算はできない。 一般に、$G$ が $\omega_f$ の関数として与えられている場合、$G$ を $\omega_f$ で微分して0とおき、それを満たす $\omega_f$ が $\omega_R$ となる。または、$G$の式から分母を平方完成して考える方法も考えられる。

(3) 最大となる $G$ の値を求める。$\omega_f = \omega_R$ を $G$ の式に代入して、最大値 $G_{max}$ を求める。 具体的な $G$ の式がないため、$G_{max} = G(\omega_R)$ としか書けない。

3. 最終的な答え

(1)

$G = \sqrt{D^2 + E^2}$

$\cos\phi = \frac{D}{\sqrt{D^2 + E^2}}$

$\sin\phi = \frac{E}{\sqrt{D^2 + E^2}}$

(2)

$G$ が最大となる $\omega_f = \omega_R$ は、具体的な $G(\omega_f)$ の式がないため、計算できません。 $G(\omega_f)$ が与えられたら、$G$ を $\omega_f$ で微分して0とおいて解くか、$G$の分母を平方完成して求めます。

(3)

最大となる $G$ の値は、$G_{max} = G(\omega_R)$ です。具体的な $\omega_R$ の値がないため、$G(\omega_R)$ を計算することもできません。