4辺の長さの和が16である長方形ABCDにおいて、辺BCの長さを$x$とし、長方形ABCDの面積を$y$とする。 (1) $y$を$x$の式で表しなさい。 (2) $y \geq 10$となる$x$の範囲を求めなさい。

1. 問題の内容

4辺の長さの和が16である長方形ABCDにおいて、辺BCの長さを$x$とし、長方形ABCDの面積を$y$とする。

(1) $y$を$x$の式で表しなさい。

(2) $y \geq 10$となる$x$の範囲を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 長方形ABCDの辺BCの長さを$x$とすると、向かい合う辺も$x$となる。4辺の長さの和が16なので、他の2辺の長さの和は$16-2x$となる。残りの1辺の長さは、その半分であるから$\frac{16-2x}{2} = 8-x$となる。

長方形の面積$y$は、縦の長さ$x$と横の長さ$8-x$の積で表されるので、以下のようになる。

$y = x(8-x) = 8x - x^2$

(2) $y \geq 10$となる$x$の範囲を求める。

$y = 8x - x^2$であるから、$8x - x^2 \geq 10$となる$x$の範囲を求める。

不等式を変形すると、以下のようになる。

$8x - x^2 \geq 10$

$-x^2 + 8x - 10 \geq 0$

$x^2 - 8x + 10 \leq 0$

この2次不等式を解くために、$x^2 - 8x + 10 = 0$の解を求める。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 4 \pm \sqrt{6}$

したがって、$x^2 - 8x + 10 \leq 0$となる$x$の範囲は、

$4-\sqrt{6} \leq x \leq 4+\sqrt{6}$

長方形の辺の長さであるから、$x > 0$かつ$8-x > 0$である必要があるので、$0 < x < 8$である。

$4 - \sqrt{6} \approx 4 - 2.45 = 1.55$

$4 + \sqrt{6} \approx 4 + 2.45 = 6.45$

であるから、$4-\sqrt{6} \leq x \leq 4+\sqrt{6}$は$0 < x < 8$を満たしている。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 8x$

(2) $4-\sqrt{6} \leq x \leq 4+\sqrt{6}$