$x + \frac{2}{x} = 3$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求めよ。 (1) $x^2 + \frac{4}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{8}{x^3}$ (3) $x^3 - \frac{8}{x^3}$

1. 問題の内容

$x + \frac{2}{x} = 3$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求めよ。

(1) $x^2 + \frac{4}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{8}{x^3}$

(3) $x^3 - \frac{8}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{4}{x^2}$ の値を求める。

$x + \frac{2}{x} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(x + \frac{2}{x})^2 = 3^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 9$

$x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 9$

$x^2 + \frac{4}{x^2} = 9 - 4$

$x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$

(2) $x^3 + \frac{8}{x^3}$ の値を求める。

$x + \frac{2}{x} = 3$ の両辺を3乗すると、

$(x + \frac{2}{x})^3 = 3^3$

$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{2}{x} + 3 \cdot x \cdot (\frac{2}{x})^2 + (\frac{2}{x})^3 = 27$

$x^3 + 6x + \frac{12}{x} + \frac{8}{x^3} = 27$

$x^3 + \frac{8}{x^3} + 6(x + \frac{2}{x}) = 27$

$x^3 + \frac{8}{x^3} + 6(3) = 27$

$x^3 + \frac{8}{x^3} + 18 = 27$

$x^3 + \frac{8}{x^3} = 27 - 18$

$x^3 + \frac{8}{x^3} = 9$

(3) $x^3 - \frac{8}{x^3}$ の値を求める。

$(x - \frac{2}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2} = (x^2 + \frac{4}{x^2}) - 4$

(1) より $x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$ なので、

$(x - \frac{2}{x})^2 = 5 - 4 = 1$

$x - \frac{2}{x} = \pm 1$

ここで、$x^3 - \frac{8}{x^3} = (x - \frac{2}{x})(x^2 + x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}) = (x - \frac{2}{x})(x^2 + 2 + \frac{4}{x^2}) = (x - \frac{2}{x})((x^2 + \frac{4}{x^2}) + 2)$

(1) より $x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$ なので、

$x^3 - \frac{8}{x^3} = (x - \frac{2}{x})(5 + 2) = 7(x - \frac{2}{x})$

$x - \frac{2}{x} = \pm 1$ なので、

$x^3 - \frac{8}{x^3} = 7(\pm 1) = \pm 7$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$

(2) $x^3 + \frac{8}{x^3} = 9$

(3) $x^3 - \frac{8}{x^3} = \pm 7$