与えられた行列とベクトルの積を、3つのベクトルの線形結合として表現する問題です。 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ とベクトル $\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}$ の積を計算し、その結果を3つのベクトルに分解し、それぞれに係数9, 2, 7を掛けた形で表します。

1. 問題の内容

与えられた行列とベクトルの積を、3つのベクトルの線形結合として表現する問題です。

行列 $\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ とベクトル $\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}$ の積を計算し、その結果を3つのベクトルに分解し、それぞれに係数9, 2, 7を掛けた形で表します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列とベクトルの積を計算します。

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 9 + 5 \cdot 2 + 1 \cdot 7 \\ 2 \cdot 9 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 + 10 + 7 \\ 18 + 4 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ 29 \end{pmatrix}$

次に、このベクトルを、係数9, 2, 7に対応する3つのベクトルの線形結合として表現します。行列の各列が線形結合のベクトルに対応します。つまり、以下のようになります。

$\begin{pmatrix} 44 \\ 29 \end{pmatrix} = 9 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、求めるベクトルは $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

(3 2) (5 2) (1 1)