2次関数 $y = -2x^2 + 3x - 4$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 3x - 4$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 3x - 4$

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 4$

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) - 4$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + 2(\frac{9}{16}) - 4$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} - \frac{32}{8}$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{23}{8}$

よって、頂点の座標は $(\frac{3}{4}, -\frac{23}{8})$ です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を考えます。

頂点のx座標 $\frac{3}{4}$ は定義域に含まれているので、頂点で最大値または最小値をとる可能性があります。

上に凸なグラフなので、頂点で最大値をとります。

$x = \frac{3}{4}$ のとき、 $y = -\frac{23}{8}$ （最大値）

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 + 3(-1) - 4 = -2 - 3 - 4 = -9$

$x = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 + 3(1) - 4 = -2 + 3 - 4 = -3$

$x = -1$のとき$y=-9=-\frac{72}{8}$

$x = 1$のとき$y=-3=-\frac{24}{8}$

$-1 \le x \le 1$ におけるグラフを考えると、最大値は $x = \frac{3}{4}$ のときの $y = -\frac{23}{8}$ であり、最小値は $x = -1$ のときの $y = -9$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $-\frac{23}{8}$

最小値: $-9$