以下の同次線形微分方程式の一般解を求めます。 (1) $3y'' + 10y' + 8y = 0$ (2) $y'' - 6y' + 9y = 0$ (3) $y'' - 6y' + 7y = 0$ (4) $2y'' + y' + y = 0$

はい、承知しました。微分方程式の一般解を求める問題ですね。今回は、(1)から(4)までのすべての問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の同次線形微分方程式の一般解を求めます。

(1) $3y'' + 10y' + 8y = 0$

(2) $y'' - 6y' + 9y = 0$

(3) $y'' - 6y' + 7y = 0$

(4) $2y'' + y' + y = 0$

2. 解き方の手順

これらの微分方程式は、定数係数の同次線形微分方程式なので、特性方程式を用いることで解くことができます。特性方程式の解の種類によって、一般解の形が変わります。

(1) $3y'' + 10y' + 8y = 0$

特性方程式は

$3r^2 + 10r + 8 = 0$

$(3r + 4)(r + 2) = 0$

$r_1 = -\frac{4}{3}, r_2 = -2$

これらは実数で異なる解なので、一般解は次のようになります。

$y = c_1e^{-\frac{4}{3}x} + c_2e^{-2x}$

(2) $y'' - 6y' + 9y = 0$

特性方程式は

$r^2 - 6r + 9 = 0$

$(r - 3)^2 = 0$

$r = 3$ (重解)

これは実数の重解なので、一般解は次のようになります。

$y = c_1e^{3x} + c_2xe^{3x}$

(3) $y'' - 6y' + 7y = 0$

特性方程式は

$r^2 - 6r + 7 = 0$

$r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$

これらは実数で異なる解なので、一般解は次のようになります。

$y = c_1e^{(3 + \sqrt{2})x} + c_2e^{(3 - \sqrt{2})x}$

(4) $2y'' + y' + y = 0$

特性方程式は

$2r^2 + r + 1 = 0$

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{4}$

これらは複素数解なので、一般解は次のようになります。

$y = e^{-\frac{1}{4}x}(c_1\cos(\frac{\sqrt{7}}{4}x) + c_2\sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$

3. 最終的な答え

(1) $y = c_1e^{-\frac{4}{3}x} + c_2e^{-2x}$

(2) $y = c_1e^{3x} + c_2xe^{3x}$

(3) $y = c_1e^{(3 + \sqrt{2})x} + c_2e^{(3 - \sqrt{2})x}$

(4) $y = e^{-\frac{1}{4}x}(c_1\cos(\frac{\sqrt{7}}{4}x) + c_2\sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$

ここで、$c_1$と$c_2$は任意定数です。