行列 $A$ があり、ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ に $A$ をかけた結果が、ベクトル $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ を3倍したもの、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ を4倍したもの、$\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ を6倍したものの和に等しくなるときの行列 $A$ を求める問題です。 ただし、３ｘ１のベクトルから３ｘ４のベクトルになっているので右辺のベクトルは４ｘ１のベクトルではなく、３ｘ１のベクトルであると推測します。

1. 問題の内容

行列 $A$ があり、ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ に $A$ をかけた結果が、ベクトル $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ を3倍したもの、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ を4倍したもの、$\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ を6倍したものの和に等しくなるときの行列 $A$ を求める問題です。 ただし、３ｘ１のベクトルから３ｘ４のベクトルになっているので右辺のベクトルは４ｘ１のベクトルではなく、３ｘ１のベクトルであると推測します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を書き下します。

$A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

右辺のベクトルを計算します。

$3 \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 30 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \\ 43 \\ 26 \end{pmatrix}$

したがって、$A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \\ 43 \\ 26 \end{pmatrix}$ となります。

ここで、行列 $A$ を $A = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$ とおくと、$A$ は $1 \times 3$ の行列であり、$A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ はスカラー値になるはずです。

しかし、右辺は $\begin{pmatrix} 22 \\ 43 \\ 26 \end{pmatrix}$ という $3 \times 1$ のベクトルです。

問題文を再度確認し、仮定を修正します。$A$ は $3 \times 3$ の行列であると仮定すると、$A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ は $3 \times 1$ のベクトルになります。この場合、解は一意に定まりません。

この問題では、行列$A$は$3 \times 3$ではなく$3 \times 1$の行列であると推測できます。

$A = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$であるとすると、$A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$という記述は誤りです。

元の方程式に立ち返ると、

$A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

が与えられています。 ここで、$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$は３次元のベクトルであり、右辺も３次元のベクトルです。したがって、$A$は$3 \times 3$の行列である必要があります。

しかし、$A$が$3 \times 3$の行列であるならば、$A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$の結果は$3 \times 1$のベクトルになり、右辺と一致します。

元の問題文が不完全であるため、厳密な解を求めることができません。

ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ が一次独立な３つのベクトルであれば、$A$を決定できます。しかし、このベクトル一つだけでは$A$を決定できません。

問題文の意味を考えると、$A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \\ 43 \\ 26 \end{pmatrix}$を満たす$A$を求めることが目的だと考えられます。

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$とおくと、$A \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a_{11} + 4a_{12} + 6a_{13} \\ 3a_{21} + 4a_{22} + 6a_{23} \\ 3a_{31} + 4a_{32} + 6a_{33} \end{pmatrix}$ となります。

したがって、

$3a_{11} + 4a_{12} + 6a_{13} = 22$

$3a_{21} + 4a_{22} + 6a_{23} = 43$

$3a_{31} + 4a_{32} + 6a_{33} = 26$

を満たす必要があります。

一つの解として、$A = \begin{pmatrix} 22/3 & 0 & 0 \\ 43/3 & 0 & 0 \\ 26/3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$があります。

別の解として、$A = \begin{pmatrix} 0 & 11/2 & 0 \\ 0 & 43/4 & 0 \\ 0 & 13/2 & 0 \end{pmatrix}$があります。

また、$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 11/3 \\ 0 & 0 & 43/6 \\ 0 & 0 & 13/3 \end{pmatrix}$もあります。

3. 最終的な答え

問題文が不完全なため、唯一の解を求めることはできません。しかし、

$3a_{11} + 4a_{12} + 6a_{13} = 22$

$3a_{21} + 4a_{22} + 6a_{23} = 43$

$3a_{31} + 4a_{32} + 6a_{33} = 26$

を満たす行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ が答えです。

例えば、

22/3 0 0

43/3 0 0

26/3 0 0

という行列は条件を満たします。