次の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{10}}((n+1)^9 + (n+2)^9 + \dots + (n+n)^9)$ (2) $\lim_{n\to\infty} n^8(\frac{1}{(n+1)^9} + \frac{1}{(n+2)^9} + \dots + \frac{1}{(n+n)^9})$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}(\sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n})$

1. 問題の内容

次の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{10}}((n+1)^9 + (n+2)^9 + \dots + (n+n)^9)$

(2) $\lim_{n\to\infty} n^8(\frac{1}{(n+1)^9} + \frac{1}{(n+2)^9} + \dots + \frac{1}{(n+n)^9})$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}(\sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n})$

2. 解き方の手順

(1)

区分求積法を用いる。

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{10}}((n+1)^9 + (n+2)^9 + \dots + (n+n)^9) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (\frac{n+k}{n})^9$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (1+\frac{k}{n})^9 = \int_0^1 (1+x)^9 dx$

$= [\frac{(1+x)^{10}}{10}]_0^1 = \frac{2^{10}-1}{10} = \frac{1023}{10}$

(2)

区分求積法を用いる。

$\lim_{n\to\infty} n^8(\frac{1}{(n+1)^9} + \frac{1}{(n+2)^9} + \dots + \frac{1}{(n+n)^9}) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{n^9}{(n+k)^9}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (\frac{n}{n+k})^9 = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (\frac{1}{1+\frac{k}{n}})^9 = \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^9} dx$

$= \int_0^1 (1+x)^{-9} dx = [\frac{(1+x)^{-8}}{-8}]_0^1 = -\frac{1}{8}(\frac{1}{2^8}-1) = \frac{1}{8}(1-\frac{1}{2^8}) = \frac{1}{8}(1-\frac{1}{256}) = \frac{255}{8 \cdot 256} = \frac{255}{2048}$

(3)

区分求積法を用いる。

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}(\sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n}) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sin \frac{k\pi}{n} = \int_0^1 \sin (\pi x) dx$

$= [-\frac{\cos (\pi x)}{\pi}]_0^1 = -\frac{1}{\pi}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{\pi}(-1-1) = \frac{2}{\pi}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1023}{10}$

(2) $\frac{255}{2048}$

(3) $\frac{2}{\pi}$