$x$ の不等式 $2ax - 1 \le 4x$ の解を、$a$ の値の範囲に応じて求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の不等式 $2ax - 1 \le 4x$ の解を、$a$ の値の範囲に応じて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$2ax - 1 \le 4x$

$2ax - 4x \le 1$

$(2a - 4)x \le 1$

$2(a - 2)x \le 1$

次に、$a$ の値によって場合分けを行います。

* $a > 2$ のとき、$a - 2 > 0$ なので、不等式の両辺を $2(a - 2)$ で割ると、

$x \le \frac{1}{2(a-2)}$

* $a = 2$ のとき、$2(a - 2) = 0$ なので、$0 \cdot x \le 1$ となり、これは常に成り立ちます。したがって、$x$ はすべての実数となります。

* $a < 2$ のとき、$a - 2 < 0$ なので、不等式の両辺を $2(a - 2)$ で割ると、不等号の向きが変わります。

$x \ge \frac{1}{2(a-2)}$

3. 最終的な答え

* $a > 2$ のとき、$x \le \frac{1}{2(a-2)}$

* $a = 2$ のとき、$x$ はすべての実数

* $a < 2$ のとき、$x \ge \frac{1}{2(a-2)}$