与えられた行列 $A$ を用いて定まる線形写像 $T_A$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 線形写像 $T_A$ は何次元ベクトル空間 $V$ から何次元ベクトル空間 $W$ への線形写像か。 (2) ベクトル空間 $V$ の基本ベクトル $e_2$ の $T_A$ による像の第3成分は何か。 行列 $A$ は以下で与えられています。 $A = \begin{pmatrix} -6 & -11 & -1 \\ -14 & -23 & -27 \\ -26 & -20 & 2 \\ -8 & -22 & -15 \\ 12 & 15 & 26 \\ 16 & -29 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ を用いて定まる線形写像 $T_A$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 線形写像 $T_A$ は何次元ベクトル空間 $V$ から何次元ベクトル空間 $W$ への線形写像か。

(2) ベクトル空間 $V$ の基本ベクトル $e_2$ の $T_A$ による像の第3成分は何か。

行列 $A$ は以下で与えられています。

$A = \begin{pmatrix}

-6 & -11 & -1 \\

-14 & -23 & -27 \\

-26 & -20 & 2 \\

-8 & -22 & -15 \\

12 & 15 & 26 \\

16 & -29 & 3

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ は $6 \times 3$ 行列なので、線形写像 $T_A$ は3次元ベクトル空間 $V$ から 6次元ベクトル空間 $W$ への線形写像を定めます。

(2) $e_2$ は3次元ベクトル空間の基本ベクトルなので、$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と表されます。

$T_A(e_2) = A e_2$ を計算します。

$T_A(e_2) = \begin{pmatrix}

-6 & -11 & -1 \\

-14 & -23 & -27 \\

-26 & -20 & 2 \\

-8 & -22 & -15 \\

12 & 15 & 26 \\

16 & -29 & 3

\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -23 \\ -20 \\ -22 \\ 15 \\ -29 \end{pmatrix}$

$T_A(e_2)$ の第3成分は -20 です。

3. 最終的な答え

(1) 3次元ベクトル空間 $V$ から 6次元ベクトル空間 $W$

(2) -20