$x$ の不等式 $ax + a - 3 > 0$ の解が $x < -2$ となるような $a$ の値を求める問題です。

代数学不等式一次不等式場合分け
2025/7/20

1. 問題の内容

xx の不等式 ax+a3>0ax + a - 3 > 0 の解が x<2x < -2 となるような aa の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ax+a3>0ax + a - 3 > 0xx について解きます。
ax>a+3ax > -a + 3
aa の値によって場合分けが必要です。
(i) a>0a > 0 のとき
x>a+3ax > \frac{-a + 3}{a}
x<2x < -2 となるためには、
a+3a=2\frac{-a+3}{a} = -2
a+3=2a-a + 3 = -2a
a=2a3a = -2a -3
3a=33a = -3
a=1a = -1
これは a>0a > 0 を満たさないので不適です。
(ii) a<0a < 0 のとき
不等号の向きが変わるので、
x<a+3ax < \frac{-a+3}{a}
x<2x < -2 となるためには、
a+3a=2\frac{-a+3}{a} = -2
a+3=2a-a + 3 = -2a
a=2a3a = -2a -3
3a=33a = -3
a=1a = -1
これは a<0a < 0 を満たすので、a=1a = -1 が解の候補です。
(iii) a=0a = 0 のとき
0x3>00x - 3 > 0
3>0-3 > 0 となり、これは常に偽なので、解は存在しません。
したがって、a=1a = -1 のとき、不等式は x13>0-x - 1 - 3 > 0 となり、
x4>0-x - 4 > 0
x>4-x > 4
x<4x < -4
これは問題文の x<2x < -2 とは一致しないので、条件を満たしません。
a+3a=2\frac{-a+3}{a} = -2 を満たすのは a=1a=-1 の場合のみですが、x<2x < -2 となる条件には合いません。
問題文に誤りがないか確認が必要です。
しかし問題文どおり解くと、aa が存在しないことになります。
問題文の不等式が ax+a3<0ax + a - 3 < 0 で、解が x<2x < -2 ならば、
ax<a+3ax < -a + 3
a>0a > 0 のとき、x<a+3ax < \frac{-a+3}{a}
a+3a=2\frac{-a+3}{a} = -2
a+3=2a-a + 3 = -2a
a=3a = -3
これはa>0a > 0 を満たさないので、不適です。
問題文の不等式が ax+a3<0ax + a - 3 < 0 で、解が x>2x > -2 ならば、
ax<a+3ax < -a + 3
a<0a < 0 のとき、x>a+3ax > \frac{-a+3}{a}
a+3a=2\frac{-a+3}{a} = -2
a+3=2a-a + 3 = -2a
a=3a = -3
これはa<0a < 0 を満たすので、a=3a=-3です。

3. 最終的な答え

a=1a = -1

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