$a$ を定数とするとき、$x \ge a$ を満たすすべての $x$ が不等式 $a(x+3) \ge a^2+1$ を満たすような $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、$x \ge a$ を満たすすべての $x$ が不等式 $a(x+3) \ge a^2+1$ を満たすような $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

$x \ge a$ を満たすすべての $x$ が $a(x+3) \ge a^2+1$ を満たすということは、$x=a$ のときにも $a(x+3) \ge a^2+1$ が成り立つ必要がある。

したがって、$x$ に $a$ を代入すると、

$a(a+3) \ge a^2+1$

$a^2 + 3a \ge a^2 + 1$

$3a \ge 1$

$a \ge \frac{1}{3}$

次に、$a(x+3) \ge a^2+1$ を $x$ について解く。

$ax+3a \ge a^2+1$

$ax \ge a^2-3a+1$

$a > 0$ のとき、$x \ge \frac{a^2-3a+1}{a}$

$a < 0$ のとき、$x \le \frac{a^2-3a+1}{a}$

ここで、$x \ge a$ を満たすすべての $x$ が $a(x+3) \ge a^2+1$ を満たす場合を考える。

$a>0$ の場合、$x \ge a$ かつ $x \ge \frac{a^2-3a+1}{a}$ なので、$\frac{a^2-3a+1}{a} \le a$ であればよい。

$\frac{a^2-3a+1}{a} \le a$

$a^2-3a+1 \le a^2$

$-3a+1 \le 0$

$3a \ge 1$

$a \ge \frac{1}{3}$

$a<0$ の場合、$x \ge a$ かつ $x \le \frac{a^2-3a+1}{a}$ となることはあり得ないため、$a<0$ は不適である。

$a=0$ の場合、$a(x+3) \ge a^2+1$ は $0 \ge 1$ となり、これは常に成り立たないため、$a=0$ は不適である。

したがって、$a \ge \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$a \ge \frac{1}{3}$