座標平面上の点 $(x, y)$ が方程式 $2x^2 + 4xy + 3y^2 + 4x + 5y - 4 = 0$ を満たすとき、$x$ のとりうる最大値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の点 $(x, y)$ が方程式 $2x^2 + 4xy + 3y^2 + 4x + 5y - 4 = 0$ を満たすとき、$x$ のとりうる最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $y$ についての2次方程式と見て整理する。

$3y^2 + (4x+5)y + (2x^2 + 4x - 4) = 0$

$y$ が実数であるためには、この2次方程式の判別式 $D$ が $D \geq 0$ を満たさなければならない。

判別式 $D$ を計算する。

$D = (4x+5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2x^2 + 4x - 4)$

$D = 16x^2 + 40x + 25 - 12(2x^2 + 4x - 4)$

$D = 16x^2 + 40x + 25 - 24x^2 - 48x + 48$

$D = -8x^2 - 8x + 73$

$D \geq 0$ より、

$-8x^2 - 8x + 73 \geq 0$

$8x^2 + 8x - 73 \leq 0$

この2次不等式を解くために、$8x^2 + 8x - 73 = 0$ の解を求める。

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-73)}}{2 \cdot 8} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 2336}}{16} = \frac{-8 \pm \sqrt{2400}}{16} = \frac{-8 \pm 20\sqrt{6}}{16} = \frac{-2 \pm 5\sqrt{6}}{4}$

したがって、$8x^2 + 8x - 73 \leq 0$ を満たす $x$ の範囲は、

$\frac{-2 - 5\sqrt{6}}{4} \leq x \leq \frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4}$

$x$ の最大値は $\frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{-2 + 5\sqrt{6}}{4}$