$x$ の不等式 $a(5x-7) \le 3a$ の解を求める。

1. 問題の内容

$x$ の不等式 $a(5x-7) \le 3a$ の解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を展開します。

$5ax - 7a \le 3a$

次に、$-7a$ を右辺に移項します。

$5ax \le 3a + 7a$

$5ax \le 10a$

ここで、$a$ の符号によって場合分けが必要になります。

(1) $a > 0$ の場合：

不等式の両辺を $5a$ で割ると、$a$ が正なので不等号の向きは変わりません。

$x \le \frac{10a}{5a}$

$x \le 2$

(2) $a < 0$ の場合：

不等式の両辺を $5a$ で割ると、$a$ が負なので不等号の向きが変わります。

$x \ge \frac{10a}{5a}$

$x \ge 2$

(3) $a = 0$ の場合：

与えられた不等式に $a = 0$ を代入すると、$0(5x-7) \le 3(0)$ となり、$0 \le 0$ となります。これは常に成り立つので、$x$ はすべての実数となります。

3. 最終的な答え

$a > 0$ のとき、$x \le 2$

$a < 0$ のとき、$x \ge 2$

$a = 0$ のとき、すべての実数