行列Aが定める線形写像$T_A$があり、ベクトル$\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$は$\begin{pmatrix} -9 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$に、ベクトル$\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$は$\begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}$に写されるとする。 (1) ベクトル$\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix}$を$\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$の線形結合で表すときの係数$c_1, c_2$を求めよ。 (2) ベクトル$\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix}$の像$T_A\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix}$を求めよ。 (3) 上の条件を満たす行列Aの例を1つ求めよ。

1. 問題の内容

行列Aが定める線形写像$T_A$があり、ベクトル$\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$は$\begin{pmatrix} -9 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$に、ベクトル$\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$は$\begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}$に写されるとする。

(1) ベクトル$\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix}$を$\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$の線形結合で表すときの係数$c_1, c_2$を求めよ。

(2) ベクトル$\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix}$の像$T_A\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix}$を求めよ。

(3) 上の条件を満たす行列Aの例を1つ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$となる$c_1$と$c_2$を求める。

この式を成分ごとに書くと、

$-c_1 - c_2 = 5$

$-2c_1 - 3c_2 = 12$

$2c_1 + c_2 = -8$

1番目の式と3番目の式を足すと、$-c_1 - c_2 + 2c_1 + c_2 = 5 - 8$、つまり$c_1 = -3$となる。

1番目の式に$c_1 = -3$を代入すると、$-(-3) - c_2 = 5$、つまり$3 - c_2 = 5$となり、$c_2 = -2$となる。

したがって、$c_1 = -3$、$c_2 = -2$。

(2)

線形写像の性質より、$T_A(c_1v_1 + c_2v_2) = c_1T_A(v_1) + c_2T_A(v_2)$が成り立つ。

$\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix} = -3 \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$なので、

$T_A\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix} = -3 T_A\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} -2 T_A\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$= -3 \begin{pmatrix} -9 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 \\ -15 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 18 \\ -6 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 45 \\ -21 \\ 27 \end{pmatrix}$

(3)

$A\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

$A\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$とすると、

$-a - 2b + 2c = -9$

$-a - 3b + c = -9$

$-d - 2e + 2f = 5$

$-d - 3e + f = 3$

$-g - 2h + 2i = -3$

$-g - 3h + i = -9$

1行目と2行目の差をとると、$b + c = 0$なので、$b = -c$

2行目に代入すると、$-a + 3c + c = -9$、つまり$-a + 4c = -9$、$a = 4c + 9$

同様に、

$e + f = 2$、$e = -f + 2$

$-d - 2(-f + 2) + 2f = 5$、$-d + 4f = 9$、$d = 4f - 9$

$h + i = 6$、$h = -i + 6$

$-g - 2(-i + 6) + 2i = -3$、$-g + 4i = 9$、$g = 4i - 9$

$A = \begin{pmatrix} 4c+9 & -c & c \\ 4f-9 & -f+2 & f \\ 4i-9 & -i+6 & i \end{pmatrix}$

例えば、$c = 0, f = 0, i = 0$とすると、

$A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ -9 & 2 & 0 \\ -9 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) [c1, c2] = [-3, -2]

(2) $\begin{pmatrix} 45 \\ -21 \\ 27 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ -9 & 2 & 0 \\ -9 & 6 & 0 \end{pmatrix}$