定数 $a$ について、 $x \geq 3$ を満たすすべての $x$ が不等式 $a(x-3) \geq 9 - 2ax$ を満たすような $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ について、 $x \geq 3$ を満たすすべての $x$ が不等式 $a(x-3) \geq 9 - 2ax$ を満たすような $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $a(x-3) \geq 9 - 2ax$ を変形して、$x$ について解きます。

$ax - 3a \geq 9 - 2ax$

$ax + 2ax \geq 9 + 3a$

$(3a)x \geq 9 + 3a$

次に、$a$ の値によって場合分けをして考えます。

(i) $a > 0$ のとき

$3a > 0$ なので、$x \geq \frac{9+3a}{3a}$

$x \geq \frac{3+a}{a}$

$x \geq 3$ を満たすすべての $x$ が $x \geq \frac{3+a}{a}$ を満たすためには、

$\frac{3+a}{a} \leq 3$

$3 + a \leq 3a$

$3 \leq 2a$

$a \geq \frac{3}{2}$

(ii) $a = 0$ のとき

$0 \geq 9$ となり、これは常に偽なので、条件を満たしません。

(iii) $a < 0$ のとき

$3a < 0$ なので、$x \leq \frac{9+3a}{3a}$

$x \leq \frac{3+a}{a}$

$x \geq 3$ を満たすすべての $x$ が $x \leq \frac{3+a}{a}$ を満たすことはありません。

なぜなら、$x \geq 3$ を満たす $x$ は無限に存在し、それらすべてが $x \leq \frac{3+a}{a}$ を満たすことはあり得ないからです。例えば、$x=4$ を考えると、$4 \leq \frac{3+a}{a}$ を満たす必要がありますが、$a<0$ のとき $\frac{3+a}{a} < 3$ であり、$x$ はいくらでも大きな値を取れるからです。

したがって、(i), (ii), (iii) より、$a \geq \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$a \geq \frac{3}{2}$