与えられた3つの2階線形同次微分方程式について、それぞれ初期条件を満たす解を求める問題です。 (1) $y'' - 5y' + 6y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$ (2) $y'' + 2\sqrt{2}y' + 2y = 0$, $y(1) = 0$, $y'(1) = 1$ (3) $y'' - 3y' + 5y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの2階線形同次微分方程式について、それぞれ初期条件を満たす解を求める問題です。

(1) $y'' - 5y' + 6y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$

(2) $y'' + 2\sqrt{2}y' + 2y = 0$, $y(1) = 0$, $y'(1) = 1$

(3) $y'' - 3y' + 5y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$

2. 解き方の手順

(1) $y'' - 5y' + 6y = 0$

まず、特性方程式を求めます。

$r^2 - 5r + 6 = 0$

$(r-2)(r-3) = 0$

$r = 2, 3$

一般解は

$y(x) = c_1e^{2x} + c_2e^{3x}$

初期条件を使って、$c_1$と$c_2$を求めます。

$y(0) = c_1 + c_2 = 0$

$y'(x) = 2c_1e^{2x} + 3c_2e^{3x}$

$y'(0) = 2c_1 + 3c_2 = 1$

$c_1 = -c_2$なので、$2(-c_2) + 3c_2 = 1$

$c_2 = 1$

$c_1 = -1$

したがって、$y(x) = -e^{2x} + e^{3x}$

(2) $y'' + 2\sqrt{2}y' + 2y = 0$

特性方程式は

$r^2 + 2\sqrt{2}r + 2 = 0$

$(r + \sqrt{2})^2 = 0$

$r = -\sqrt{2}$ (重根)

一般解は

$y(x) = c_1e^{-\sqrt{2}x} + c_2xe^{-\sqrt{2}x}$

初期条件を使って、$c_1$と$c_2$を求めます。

$y(1) = c_1e^{-\sqrt{2}} + c_2e^{-\sqrt{2}} = 0$

$y'(x) = -\sqrt{2}c_1e^{-\sqrt{2}x} + c_2e^{-\sqrt{2}x} - \sqrt{2}c_2xe^{-\sqrt{2}x}$

$y'(1) = -\sqrt{2}c_1e^{-\sqrt{2}} + c_2e^{-\sqrt{2}} - \sqrt{2}c_2e^{-\sqrt{2}} = 1$

$c_1 + c_2 = 0$より、$c_1 = -c_2$

$-\sqrt{2}(-c_2)e^{-\sqrt{2}} + c_2e^{-\sqrt{2}} - \sqrt{2}c_2e^{-\sqrt{2}} = 1$

$\sqrt{2}c_2e^{-\sqrt{2}} + c_2e^{-\sqrt{2}} - \sqrt{2}c_2e^{-\sqrt{2}} = 1$

$c_2e^{-\sqrt{2}} = 1$

$c_2 = e^{\sqrt{2}}$

$c_1 = -e^{\sqrt{2}}$

したがって、$y(x) = -e^{\sqrt{2}}e^{-\sqrt{2}x} + e^{\sqrt{2}}xe^{-\sqrt{2}x} = e^{\sqrt{2}(1-x)}(x-1)$

(3) $y'' - 3y' + 5y = 0$

特性方程式は

$r^2 - 3r + 5 = 0$

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{11}}{2}$

一般解は

$y(x) = e^{\frac{3}{2}x}(c_1\cos(\frac{\sqrt{11}}{2}x) + c_2\sin(\frac{\sqrt{11}}{2}x))$

初期条件を使って、$c_1$と$c_2$を求めます。

$y(0) = c_1 = 1$

$y'(x) = \frac{3}{2}e^{\frac{3}{2}x}(c_1\cos(\frac{\sqrt{11}}{2}x) + c_2\sin(\frac{\sqrt{11}}{2}x)) + e^{\frac{3}{2}x}(-\frac{\sqrt{11}}{2}c_1\sin(\frac{\sqrt{11}}{2}x) + \frac{\sqrt{11}}{2}c_2\cos(\frac{\sqrt{11}}{2}x))$

$y'(0) = \frac{3}{2}c_1 + \frac{\sqrt{11}}{2}c_2 = 0$

$\frac{3}{2}(1) + \frac{\sqrt{11}}{2}c_2 = 0$

$c_2 = -\frac{3}{\sqrt{11}}$

したがって、$y(x) = e^{\frac{3}{2}x}(\cos(\frac{\sqrt{11}}{2}x) - \frac{3}{\sqrt{11}}\sin(\frac{\sqrt{11}}{2}x))$

3. 最終的な答え

(1) $y(x) = -e^{2x} + e^{3x}$

(2) $y(x) = e^{\sqrt{2}(1-x)}(x-1)$

(3) $y(x) = e^{\frac{3}{2}x}(\cos(\frac{\sqrt{11}}{2}x) - \frac{3}{\sqrt{11}}\sin(\frac{\sqrt{11}}{2}x))$