$x$ の不等式 $a(4x-3) \ge 5a$ の解を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の不等式 $a(4x-3) \ge 5a$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

不等式 $a(4x-3) \ge 5a$ を解きます。

まず、不等式を展開します。

$4ax - 3a \ge 5a$

次に、$-3a$ を右辺に移項します。

$4ax \ge 5a + 3a$

$4ax \ge 8a$

ここで、$a$ の符号によって場合分けが必要です。

(1) $a > 0$ の場合、不等式の両辺を $4a$ で割ると不等号の向きは変わりません。

$x \ge \frac{8a}{4a}$

$x \ge 2$

(2) $a < 0$ の場合、不等式の両辺を $4a$ で割ると不等号の向きが変わります。

$x \le \frac{8a}{4a}$

$x \le 2$

(3) $a = 0$ の場合、不等式は $0(4x-3) \ge 5 \cdot 0$ となり、$0 \ge 0$ となります。これは常に成り立つので、この場合、$x$ はすべての実数となります。

3. 最終的な答え

$a>0$ のとき、$x \ge 2$

$a<0$ のとき、$x \le 2$

$a=0$ のとき、$x$ はすべての実数