与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' - 5y' + 6y = 5e^{-2x}$ の一般解を、選択肢の中から見つける問題です。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' - 5y' + 6y = 5e^{-2x}$ の一般解を、選択肢の中から見つける問題です。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y'' - 5y' + 6y = 0$ の一般解を求めます。次に、非同次方程式の特殊解を求め、最後に同次方程式の一般解と特殊解を足し合わせることで、非同次方程式の一般解を求めます。

(1) 同次方程式の一般解

特性方程式は $r^2 - 5r + 6 = 0$ となります。

これを解くと、$(r-2)(r-3) = 0$ より、$r = 2, 3$ が得られます。

したがって、同次方程式の一般解は $y_h = Ae^{3x} + Be^{2x}$ （A, Bは任意定数）となります。

(2) 非同次方程式の特殊解

非同次項が $5e^{-2x}$ であるため、特殊解を $y_p = Ce^{-2x}$ の形と仮定します。

$y_p' = -2Ce^{-2x}$

$y_p'' = 4Ce^{-2x}$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$4Ce^{-2x} - 5(-2Ce^{-2x}) + 6Ce^{-2x} = 5e^{-2x}$

$4Ce^{-2x} + 10Ce^{-2x} + 6Ce^{-2x} = 5e^{-2x}$

$20Ce^{-2x} = 5e^{-2x}$

$20C = 5$

$C = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

したがって、特殊解は $y_p = \frac{1}{4}e^{-2x}$ となります。

(3) 一般解

一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$y = y_h + y_p = Ae^{3x} + Be^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x}$

3. 最終的な答え

5. $y = Ae^{3x} + Be^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x}$