1から6までの目が等しい確率で出るサイコロを4回投げる試行について、以下の確率を求めます。 (1) 出る目の最小値が1である確率。 (2) 出る目の最小値が1で、かつ最大値が6である確率。

1. 問題の内容

1から6までの目が等しい確率で出るサイコロを4回投げる試行について、以下の確率を求めます。

(1) 出る目の最小値が1である確率。

(2) 出る目の最小値が1で、かつ最大値が6である確率。

2. 解き方の手順

(1) 出る目の最小値が1である確率

4回の試行すべてにおいて、1以上の目が出る確率は1です。

4回の試行すべてにおいて、2以上の目が出る確率は $\left(\frac{5}{6}\right)^4$ です。

したがって、少なくとも1回は1の目が出る確率は、1から「すべての目が2以上である確率」を引けば求められます。

$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$

(2) 出る目の最小値が1で、かつ最大値が6である確率

4回の試行で、出る目の最小値が1かつ最大値が6である確率を求めます。

4回の試行で、1以上6以下の目が出る確率は1です。

4回の試行で、2以上5以下の目しか出ない確率は $\left(\frac{4}{6}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$ です。

4回の試行で、1が出ない確率は $\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$ です。

4回の試行で、6が出ない確率は $\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$ です。

4回の試行で、1も6も出ない確率は $\left(\frac{4}{6}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} = \frac{256}{1296}$ です。

1以上6以下の数が出る確率から、「1が出ない確率」と「6が出ない確率」を引くと、「1か6のどちらかが出ていない確率」を二重に引いてしまうので、「1も6も出ない確率」を足します。

求める確率は、

$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 + \left(\frac{4}{6}\right)^4 = 1 - 2\left(\frac{5}{6}\right)^4 + \left(\frac{2}{3}\right)^4$

$= 1 - 2 \times \frac{625}{1296} + \frac{256}{1296} = \frac{1296 - 1250 + 256}{1296} = \frac{302}{1296} = \frac{151}{648}$

4回の試行で、1が出て6も出る確率を考えます。

1と6以外の数字（2,3,4,5）しか出ない確率は $\left(\frac{4}{6}\right)^4$ です。

1が出ない確率は $\left(\frac{5}{6}\right)^4$ です。

6が出ない確率は $\left(\frac{5}{6}\right)^4$ です。

1も6も出ない確率は $\left(\frac{4}{6}\right)^4$ です。

全て1以上6以下の目が出る確率から、1が出ない確率と6が出ない確率を引いて、1も6も出ない確率を足すと、

$\left(\frac{6}{6}\right)^4 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 + \left(\frac{4}{6}\right)^4 = 1 - 2\left(\frac{5}{6}\right)^4 + \left(\frac{4}{6}\right)^4 = 1 - 2\left(\frac{625}{1296}\right) + \frac{256}{1296} = \frac{1296 - 1250 + 256}{1296} = \frac{302}{1296} = \frac{151}{648}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{671}{1296}$

(2) $\frac{151}{648}$