与えられた各行列Aに対して、以下のものを求めます。 (1) すべての固有値と対応する固有ベクトル。 (2) 求めた固有値を用いて、行列式とトレース。 行列は以下の４つです。 (1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (3) $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$ (4) $A = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$, ($0 < \theta < \pi$)

1. 問題の内容

与えられた各行列Aに対して、以下のものを求めます。

(1) すべての固有値と対応する固有ベクトル。

(2) 求めた固有値を用いて、行列式とトレース。

行列は以下の４つです。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$

(4) $A = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$, ($0 < \theta < \pi$)

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解き、固有値 $\lambda$ を求める。

(2) 固有ベクトルを求める。

各固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I) \vec{v} = \vec{0}$ を満たす固有ベクトル $\vec{v}$ を求める。

(3) 行列式を求める。

行列式は、固有値の積に等しい。

(4) トレースを求める。

トレースは、固有値の和に等しい。

各行列について計算します。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$

特性方程式: $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ -6 & 8-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(8-\lambda) - (2)(-6) = \lambda^2 - 9\lambda + 8 + 12 = \lambda^2 - 9\lambda + 20 = (\lambda - 4)(\lambda - 5) = 0$

固有値: $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 5$

固有ベクトル:

$\lambda_1 = 4$: $\begin{pmatrix} 1-4 & 2 \\ -6 & 8-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. $-3x + 2y = 0$ より $y = \frac{3}{2}x$. 固有ベクトル $\vec{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

$\lambda_2 = 5$: $\begin{pmatrix} 1-5 & 2 \\ -6 & 8-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. $-4x + 2y = 0$ より $y = 2x$. 固有ベクトル $\vec{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

行列式: $\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 = 4 \cdot 5 = 20$

トレース: $\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 = 4 + 5 = 9$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

特性方程式: $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) - (2-\lambda - 1) + (1 - (2-\lambda)) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) - (\lambda - 1) + (\lambda - 1) = (2-\lambda)(\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$

固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$.

行列式: $\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1 \cdot 3 \cdot 3 = 6$

トレース: $\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1 + 3 + 3 = 6$

固有ベクトルは省略。

(3) $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$

特性方程式: $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 \\ 4 & 7-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(7-\lambda) - (-1)(4) = \lambda^2 - 10\lambda + 21 + 4 = \lambda^2 - 10\lambda + 25 = (\lambda - 5)^2 = 0$

固有値: $\lambda_1 = \lambda_2 = 5$

行列式: $\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 = 5 \cdot 5 = 25$

トレース: $\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 = 5 + 5 = 10$

固有ベクトル:

$\lambda = 5$: $\begin{pmatrix} 3-5 & -1 \\ 4 & 7-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. $-2x - y = 0$ より $y = -2x$. 固有ベクトル $\vec{v} = c \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

(4) $A = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$, ($0 < \theta < \pi$)

特性方程式: $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} \cos \theta - \lambda & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta - \lambda \end{vmatrix} = (\cos \theta - \lambda)^2 - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta - 2\lambda \cos \theta + \lambda^2 + \sin^2 \theta = \lambda^2 - 2 \cos \theta \lambda + 1 = 0$

固有値: $\lambda = \frac{2 \cos \theta \pm \sqrt{4 \cos^2 \theta - 4}}{2} = \cos \theta \pm \sqrt{\cos^2 \theta - 1} = \cos \theta \pm i \sin \theta = e^{\pm i \theta}$.

行列式: $\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 = e^{i \theta} e^{-i \theta} = 1$

トレース: $\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 = e^{i \theta} + e^{-i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta + \cos \theta - i \sin \theta = 2 \cos \theta$

固有ベクトル:

$\lambda = e^{i \theta}$: $\begin{pmatrix} \cos \theta - e^{i \theta} & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta - e^{i \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i \sin \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & -i \sin \theta \end{pmatrix}$. $-i \sin \theta x - \sin \theta y = 0$ より $y = -ix$. 固有ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$.

$\lambda = e^{-i \theta}$: $\begin{pmatrix} \cos \theta - e^{-i \theta} & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta - e^{-i \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \sin \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & i \sin \theta \end{pmatrix}$. $i \sin \theta x - \sin \theta y = 0$ より $y = ix$. 固有ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$.

3. 最終的な答え

(1)

固有値: $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 5$

固有ベクトル: $\vec{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

行列式: $\det(A) = 20$

トレース: $\text{tr}(A) = 9$

(2)

固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$, $\lambda_3 = 3$

行列式: $\det(A) = 9$

トレース: $\text{tr}(A) = 7$

(3)

固有値: $\lambda_1 = \lambda_2 = 5$

固有ベクトル: $\vec{v} = c \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

行列式: $\det(A) = 25$

トレース: $\text{tr}(A) = 10$

(4)

固有値: $\lambda_1 = e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$, $\lambda_2 = e^{-i \theta} = \cos \theta - i \sin \theta$

固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$

行列式: $\det(A) = 1$

トレース: $\text{tr}(A) = 2 \cos \theta$