$n = 2^p \cdot 5^q$ (ただし、$p, q$ は自然数) とするとき、$\sqrt{\frac{n^3}{160}} = 2^{\frac{3p-5}{2}} \cdot 5^{\frac{3q-1}{2}}$ が成り立つ。この条件から、$p$と$q$に関する情報が得られると思われる。しかし、この問題で何を求めるべきか明示されていないため、ここでは$p$と$q$が自然数であるという条件のもとで、$\frac{3p-5}{2}$と$\frac{3q-1}{2}$が整数になるための条件を求める。

1. 問題の内容

$n = 2^p \cdot 5^q$ (ただし、$p, q$ は自然数) とするとき、$\sqrt{\frac{n^3}{160}} = 2^{\frac{3p-5}{2}} \cdot 5^{\frac{3q-1}{2}}$ が成り立つ。この条件から、$p$と$q$に関する情報が得られると思われる。しかし、この問題で何を求めるべきか明示されていないため、ここでは$p$と$q$が自然数であるという条件のもとで、$\frac{3p-5}{2}$と$\frac{3q-1}{2}$が整数になるための条件を求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{n^3}{160}} = \sqrt{\frac{(2^p \cdot 5^q)^3}{2^5 \cdot 5^1}} = \sqrt{\frac{2^{3p} \cdot 5^{3q}}{2^5 \cdot 5^1}} = \sqrt{2^{3p-5} \cdot 5^{3q-1}} = 2^{\frac{3p-5}{2}} \cdot 5^{\frac{3q-1}{2}}$

となる。

$p, q$ は自然数なので、$3p-5$ と $3q-1$ は整数である。したがって、$\frac{3p-5}{2}$ と $\frac{3q-1}{2}$ が整数となるためには、$3p-5$ と $3q-1$ が偶数でなければならない。

$3p-5$ が偶数であるためには、$3p$ が奇数でなければならない。$3$ は奇数なので、$p$ が奇数であれば $3p$ は奇数となる。よって、$p$ は奇数である必要がある。

$3q-1$ が偶数であるためには、$3q$ が奇数でなければならない。$3$ は奇数なので、$q$ が奇数であれば $3q$ は奇数となる。よって、$q$ は奇数である必要がある。

3. 最終的な答え

$p$ と $q$ は奇数の自然数である。