$sin\theta + 3cos\theta$ を $rsin(\theta + \alpha)$ の形に変形したときの $r$, $cos\alpha$, $sin\alpha$ の値を求め、さらに関数 $y = sin\theta + 3cos\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

$sin\theta + 3cos\theta$ を $rsin(\theta + \alpha)$ の形に変形したときの $r$, $cos\alpha$, $sin\alpha$ の値を求め、さらに関数 $y = sin\theta + 3cos\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$sin\theta + 3cos\theta$ を $rsin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。

$rsin(\theta + \alpha) = r(sin\theta cos\alpha + cos\theta sin\alpha) = (rcos\alpha)sin\theta + (rsin\alpha)cos\theta$

$sin\theta + 3cos\theta$ と比較すると、

$rcos\alpha = 1$

$rsin\alpha = 3$

両辺を2乗して足すと、

$r^2cos^2\alpha + r^2sin^2\alpha = 1^2 + 3^2$

$r^2(cos^2\alpha + sin^2\alpha) = 10$

$r^2 = 10$

$r$ は正の数なので、$r = \sqrt{10}$

したがって、$cos\alpha = \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$sin\alpha = \frac{3}{r} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

次に、$y = sin\theta + 3cos\theta = \sqrt{10}sin(\theta + \alpha)$ の最大値と最小値を求めます。

ここで、$0 \le \theta \le \pi$ より、$\alpha \le \theta + \alpha \le \pi + \alpha$

$sin(\theta + \alpha)$ の最大値は $1$ であるので、最大値は $\sqrt{10} \times 1 = \sqrt{10}$

最小値を求めるために、$\alpha$ の範囲を考えます。

$sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} > 0$ なので、$\alpha$ は第1象限または第2象限の角です。

$cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} > 0$ なので、$\alpha$ は第1象限または第4象限の角です。

したがって、$\alpha$ は第1象限の角であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$です。

$\theta + \alpha$ の範囲は $\alpha \le \theta + \alpha \le \pi + \alpha$ であるので、$\pi+\alpha < \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$です。

よって $sin(\theta + \alpha)$ の最小値は $sin(\pi + \alpha) = -sin\alpha = - \frac{3\sqrt{10}}{10}$となるわけではありません。$sin(\theta + \alpha)$ の最小値は $sin(\pi+\alpha)$ か $sin \alpha$ が範囲内で最小のいずれかとなります。

$sin(\theta+\alpha)$の最小値は $\theta= \pi$ の時なので、$y = sin\pi + 3cos\pi = 0 - 3 = -3$となります。

3. 最終的な答え

$r = \sqrt{10}$

$cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

最大値は $\sqrt{10}$

最小値は $-3$