行列 $A = \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$ を行に関する基本変形を用いて階段行列に変形し、そのランクを求め、行列 $A$ が正則であるかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$ を行に関する基本変形を用いて階段行列に変形し、そのランクを求め、行列 $A$ が正則であるかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ を階段行列に変形します。

$A = \begin{pmatrix} -4 & -3 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$

1行目を $-4$ で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の5倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} \\ 0 & -1 + \frac{15}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} \\ 0 & \frac{11}{4} \end{pmatrix}$

2行目を $\frac{11}{4}$ で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の $\frac{3}{4}$ 倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、階段行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

ランクは、階段行列における 0 でない行の数なので、rank $A = 2$ です。

行列 $A$ が正方行列であり、そのランクが次元 (この場合は 2) と一致するため、行列 $A$ は正則です。

3. 最終的な答え

階段行列: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

rank $A = 2$

$A$ は正則である: 1