与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' + y' - 6y = 10e^{2x}$ の一般解を、選択肢の中から選び出す問題です。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' + y' - 6y = 10e^{2x}$ の一般解を、選択肢の中から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y'' + y' - 6y = 0$ の一般解を求めます。

特性方程式は $r^2 + r - 6 = 0$ となり、これは $(r+3)(r-2) = 0$ と因数分解できます。

したがって、特性根は $r_1 = 2$ と $r_2 = -3$ です。

よって、同次方程式の一般解は $y_h = C_1e^{2x} + C_2e^{-3x}$ となります。

次に、非同次方程式 $y'' + y' - 6y = 10e^{2x}$ の特殊解 $y_p$ を求めます。

$y_p = Axe^{2x}$ という形の解を仮定します（なぜなら、$e^{2x}$ は同次解に含まれているからです）。

$y_p' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x}$

$y_p'' = 2Ae^{2x} + 2Ae^{2x} + 4Axe^{2x} = 4Ae^{2x} + 4Axe^{2x}$

これらを元の非同次方程式に代入すると、

$(4Ae^{2x} + 4Axe^{2x}) + (Ae^{2x} + 2Axe^{2x}) - 6(Axe^{2x}) = 10e^{2x}$

$4Ae^{2x} + Ae^{2x} + (4Ax + 2Ax - 6Ax)e^{2x} = 10e^{2x}$

$5Ae^{2x} = 10e^{2x}$

したがって、$5A = 10$ より $A = 2$ となります。

よって、特殊解は $y_p = 2xe^{2x}$ となります。

最後に、一般解は同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられるので、

$y = y_h + y_p = C_1e^{2x} + C_2e^{-3x} + 2xe^{2x}$ となります。

3. 最終的な答え

1. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-3x} + 2xe^{2x}$