$|r| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ とするとき、$|r|$ および $\frac{1}{|r|}$ が調和関数かどうかを調べる問題です。

1. 問題の内容

$|r| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ とするとき、$|r|$ および $\frac{1}{|r|}$ が調和関数かどうかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

調和関数であるためには、ラプラス方程式を満たす必要があります。つまり、関数 $f$ に対して、

$\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0$

が成り立つかどうかを調べます。

まず、$|r|$ について調べます。

$|r| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ なので、

$\frac{\partial |r|}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{|r|}$

$\frac{\partial^2 |r|}{\partial x^2} = \frac{|r| - x \frac{x}{|r|}}{|r|^2} = \frac{|r|^2 - x^2}{|r|^3}$

同様に、

$\frac{\partial^2 |r|}{\partial y^2} = \frac{|r|^2 - y^2}{|r|^3}$

$\frac{\partial^2 |r|}{\partial z^2} = \frac{|r|^2 - z^2}{|r|^3}$

したがって、

$\nabla^2 |r| = \frac{\partial^2 |r|}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 |r|}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 |r|}{\partial z^2} = \frac{3|r|^2 - (x^2 + y^2 + z^2)}{|r|^3} = \frac{3|r|^2 - |r|^2}{|r|^3} = \frac{2|r|^2}{|r|^3} = \frac{2}{|r|}$

$\nabla^2 |r| = \frac{2}{|r|} \neq 0$ なので、$|r|$ は調和関数ではありません。

次に、$\frac{1}{|r|}$ について調べます。

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{|r|}) = -\frac{1}{|r|^2} \frac{\partial |r|}{\partial x} = -\frac{x}{|r|^3}$

$\frac{\partial^2}{\partial x^2} (\frac{1}{|r|}) = -\frac{|r|^3 - x(3|r|^2 \frac{x}{|r|})}{|r|^6} = -\frac{|r|^2 - 3x^2}{|r|^5} = \frac{3x^2 - |r|^2}{|r|^5}$

同様に、

$\frac{\partial^2}{\partial y^2} (\frac{1}{|r|}) = \frac{3y^2 - |r|^2}{|r|^5}$

$\frac{\partial^2}{\partial z^2} (\frac{1}{|r|}) = \frac{3z^2 - |r|^2}{|r|^5}$

したがって、

$\nabla^2 (\frac{1}{|r|}) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} (\frac{1}{|r|}) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} (\frac{1}{|r|}) + \frac{\partial^2}{\partial z^2} (\frac{1}{|r|}) = \frac{3(x^2+y^2+z^2) - 3|r|^2}{|r|^5} = \frac{3|r|^2 - 3|r|^2}{|r|^5} = 0$

$\nabla^2 (\frac{1}{|r|}) = 0$ なので、$\frac{1}{|r|}$ は原点を除く領域で調和関数です。

3. 最終的な答え

$|r|$ は調和関数ではない。

$\frac{1}{|r|}$ は原点を除く領域で調和関数である。