与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。拡大行列 $(A|E)$ を基本変形によって $(E|A^{-1})$ の形に変形し、$A^{-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。拡大行列 $(A|E)$ を基本変形によって $(E|A^{-1})$ の形に変形し、$A^{-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた拡大行列は $(A|E) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ です。

ステップ1: 1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ2: 1行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ3: 2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ステップ4: 3行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ステップ5: 2行目に3行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ステップ6: 1行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$