問題文は、「2つの続いた偶数の積に1を加えた数は、奇数の2乗になる」という命題を証明する穴埋め形式になっています。空欄a, b, c, dを埋める必要があります。最終的に、空欄aとdに当てはまるものを答えます。

1. 問題の内容

問題文は、「2つの続いた偶数の積に1を加えた数は、奇数の2乗になる」という命題を証明する穴埋め形式になっています。空欄a, b, c, dを埋める必要があります。最終的に、空欄aとdに当てはまるものを答えます。

2. 解き方の手順

* 2つの続いた偶数を、$n$を整数として、$2n, 2n+2$と表します。(空欄aを埋める)

* これらの積に1を加えた式 $2n(2n+2) + 1$ を展開し、$4n^2 + 4n + 1$ を得ます。

* $4n^2 + 4n + 1$ を因数分解します。 $(2n+1)^2$ となります。(空欄bを埋める)

* $2n+1$ は奇数であることから、$(2n+1)^2$ は奇数の2乗を表していることがわかります。（空欄cを埋める）

* したがって、dには $(2n+1)^2$ が入ります。

3. 最終的な答え

a: $2n+2$

d: $(2n+1)^2$