与えられた置換 $\sigma$ と多項式 $f$ に対して、$\sigma f(x_1, \dots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})$ を計算する問題である。具体的には、以下の4つの場合について $\sigma f$ を求める。 (1) $\sigma = (1\ 2)$, $f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$ (2) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$ (3) $\sigma = (2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$ (4) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

1. 問題の内容

与えられた置換 $\sigma$ と多項式 $f$ に対して、$\sigma f(x_1, \dots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})$ を計算する問題である。具体的には、以下の4つの場合について $\sigma f$ を求める。

(1) $\sigma = (1\ 2)$, $f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$

(2) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$

(3) $\sigma = (2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

(4) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

2. 解き方の手順

$\sigma f$ は、多項式 $f$ の変数 $x_i$ を $x_{\sigma(i)}$ で置き換えることで計算できる。

(1) $\sigma = (1\ 2)$, $f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$

$\sigma(1) = 2$, $\sigma(2) = 1$, $\sigma(3) = 3$ なので、

$\sigma f = x_2x_1 + 2x_1 + 3x_3 = x_1x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = x_1x_2 + 2x_2 + 3x_3$

$\sigma(1) = 2$, $\sigma(2) = 3$, $\sigma(3) = 1$ なので、

$\sigma f = x_2x_3 + 2x_3 + 3x_1$

(3) $\sigma = (2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

$\sigma(1) = 1$, $\sigma(2) = 3$, $\sigma(3) = 2$ なので、

$\sigma f = (x_1 - x_3)(x_1 - x_2)(x_3 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_3 - x_2) = -(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = -f$

(4) $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

$\sigma(1) = 2$, $\sigma(2) = 3$, $\sigma(3) = 1$ なので、

$\sigma f = (x_2 - x_3)(x_2 - x_1)(x_3 - x_1) = (x_2 - x_3)(-(x_1 - x_2))(-(x_1 - x_3)) = (x_2 - x_3)(x_1 - x_2)(x_1 - x_3) = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = f$

3. 最終的な答え

(1) $\sigma f = x_1x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma f = x_2x_3 + 2x_3 + 3x_1$

(3) $\sigma f = -(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

(4) $\sigma f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$