$n$ 変数 $x_1, x_2, ..., x_n$ の多項式 $f(x_1, ..., x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ に対して、 $\sigma f(x_1, ..., x_n) = f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)})$ と定義する。与えられた置換 $\sigma$ と多項式 $f$ に対して、$\sigma f$ を求める。 (1) $\sigma = (1 2)$, $f = x_1 x_2 + 2x_2 + 3x_3$ (2) $\sigma = (1 2 3)$, $f = x_1 x_2 + 2x_2 + 3x_3$ (3) $\sigma = (2 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$ (4) $\sigma = (1 2 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

1. 問題の内容

$n$ 変数 $x_1, x_2, ..., x_n$ の多項式 $f(x_1, ..., x_n)$ と置換 $\sigma \in S_n$ に対して、

$\sigma f(x_1, ..., x_n) = f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)})$

と定義する。与えられた置換 $\sigma$ と多項式 $f$ に対して、$\sigma f$ を求める。

(1) $\sigma = (1 2)$, $f = x_1 x_2 + 2x_2 + 3x_3$

(2) $\sigma = (1 2 3)$, $f = x_1 x_2 + 2x_2 + 3x_3$

(3) $\sigma = (2 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

(4) $\sigma = (1 2 3)$, $f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

2. 解き方の手順

置換 $\sigma$ の定義に従って、多項式 $f$ の変数を入れ替える。

(1) $\sigma = (1 2)$ なので、 $x_1$ と $x_2$ を入れ替える。

$\sigma f = x_2 x_1 + 2x_1 + 3x_3 = x_1 x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma = (1 2 3)$ なので、$x_1 \to x_2, x_2 \to x_3, x_3 \to x_1$ となる。

$\sigma f = x_2 x_3 + 2x_3 + 3x_1$

(3) $\sigma = (2 3)$ なので、$x_2$ と $x_3$ を入れ替える。

$\sigma f = (x_1 - x_3)(x_1 - x_2)(x_3 - x_2) = -(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = -f$

(4) $\sigma = (1 2 3)$ なので、$x_1 \to x_2, x_2 \to x_3, x_3 \to x_1$ となる。

$\sigma f = (x_2 - x_3)(x_2 - x_1)(x_3 - x_1) = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) = f$

3. 最終的な答え

(1) $\sigma f = x_1 x_2 + 2x_1 + 3x_3$

(2) $\sigma f = x_2 x_3 + 2x_3 + 3x_1$

(3) $\sigma f = -(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$

(4) $\sigma f = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3)$