質量 $m = 0.4 \text{ kg}$ の箱が、初期速度 $v_0 = 0.5 \text{ m/s}$ でばね定数 $k = 750 \text{ N/m}$ のばねにぶつかり、押し縮めて静止した。 (1) ばねが箱に当たった後の運動方程式を書き、力で積分することで運動エネルギーとばねのポテンシャルエネルギーに関するエネルギー保存の式を書け。 (2) 静止するまでの運動エネルギー変化 $\Delta K$ とばねのポテンシャルエネルギー変化 $\Delta U$ を求めよ。ただし、箱が静止したときのばねの縮んだ長さを $d$ とする。

1. 問題の内容

質量 $m = 0.4 \text{ kg}$ の箱が、初期速度 $v_0 = 0.5 \text{ m/s}$ でばね定数 $k = 750 \text{ N/m}$ のばねにぶつかり、押し縮めて静止した。

(1) ばねが箱に当たった後の運動方程式を書き、力で積分することで運動エネルギーとばねのポテンシャルエネルギーに関するエネルギー保存の式を書け。

(2) 静止するまでの運動エネルギー変化 $\Delta K$ とばねのポテンシャルエネルギー変化 $\Delta U$ を求めよ。ただし、箱が静止したときのばねの縮んだ長さを $d$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

運動方程式は、$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ である。

これを書き換えると、

$m\frac{dv}{dt} = -kx$

$m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = -kx$

$m v \frac{dv}{dx} = -kx$

$m \int_{v_0}^{0} v dv = \int_{0}^{d} -kx dx$

$m \left[ \frac{1}{2} v^2 \right]_{v_0}^{0} = \left[ -\frac{1}{2} kx^2 \right]_{0}^{d}$

$-\frac{1}{2} mv_0^2 = -\frac{1}{2} k d^2$

$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} k d^2$

これはエネルギー保存則を表しており、初期運動エネルギーがばねのポテンシャルエネルギーに変換されたことを示している。

(2)

静止するまでの運動エネルギー変化 $\Delta K$ は、

$\Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{initial}} = 0 - \frac{1}{2} mv_0^2 = - \frac{1}{2} mv_0^2$

ばねのポテンシャルエネルギー変化 $\Delta U$ は、

$\Delta U = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}} = \frac{1}{2} k d^2 - 0 = \frac{1}{2} k d^2$

エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} k d^2$

$d = \sqrt{\frac{m}{k}} v_0 = \sqrt{\frac{0.4}{750}} \cdot 0.5 = \sqrt{\frac{4}{7500}} \cdot 0.5 = \frac{2}{50\sqrt{3}} \cdot 0.5 = \frac{1}{25\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{75} \approx 0.0231 \text{ m}$

$\Delta K = - \frac{1}{2} mv_0^2 = - \frac{1}{2} (0.4) (0.5)^2 = - \frac{1}{2} (0.4) (0.25) = -0.05 \text{ J}$

$\Delta U = \frac{1}{2} k d^2 = \frac{1}{2} (750) \left( \frac{\sqrt{3}}{75} \right)^2 = \frac{1}{2} (750) \frac{3}{75^2} = \frac{1}{2} (750) \frac{3}{5625} = \frac{1}{2} \frac{2250}{5625} = \frac{1}{2} \frac{2}{5} = \frac{1}{5} = 0.05 \text{ J}$

3. 最終的な答え

(1) エネルギー保存則: $\frac{1}{2} mv_0^2 = \frac{1}{2} k d^2$

(2) 運動エネルギー変化 $\Delta K = -0.05 \text{ J}$

　 ポテンシャルエネルギー変化 $\Delta U = 0.05 \text{ J}$