問題6: $n$ 変数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ の多項式 $\Delta(x_1, \dots, x_n)$ が次のように定義されるとき、$\sigma \in S_n$ が互換ならば $\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = -\Delta(x_1, \dots, x_n)$ であることを示す。 $$\Delta(x_1, \dots, x_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_i - x_j)$$ 問題8: 問題6, 7を用いて, $\sigma \in S_n$ に対して, $\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = (-1)^m \Delta(x_1, \dots, x_n)$ を示す。ここで $m$ は $\sigma$ を互換の積に分解したときの互換の個数である。また、これを用いて $\text{sgn}(\sigma)$ は $\sigma$ を互換の積で表したときの表し方によらないことを示す。 問題7は: $\sigma, \tau \in S_n$ のとき, $(\sigma \tau)f(x_1, \dots, x_n) = \sigma(\tau f)(x_1, \dots, x_n)$ を示す。ただし、$f$は変数$x_1, \dots, x_n$の関数。

1. 問題の内容

問題6: $n$ 変数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ の多項式 $\Delta(x_1, \dots, x_n)$ が次のように定義されるとき、$\sigma \in S_n$ が互換ならば $\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = -\Delta(x_1, \dots, x_n)$ であることを示す。

$$\Delta(x_1, \dots, x_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_i - x_j)$$

問題8: 問題6, 7を用いて, $\sigma \in S_n$ に対して, $\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = (-1)^m \Delta(x_1, \dots, x_n)$ を示す。ここで $m$ は $\sigma$ を互換の積に分解したときの互換の個数である。また、これを用いて $\text{sgn}(\sigma)$ は $\sigma$ を互換の積で表したときの表し方によらないことを示す。

問題7は: $\sigma, \tau \in S_n$ のとき, $(\sigma \tau)f(x_1, \dots, x_n) = \sigma(\tau f)(x_1, \dots, x_n)$ を示す。ただし、$f$は変数$x_1, \dots, x_n$の関数。

2. 解き方の手順

問題6:

$\sigma$ を互換とする。$\sigma$ はある $i$ と $j$ を入れ替える置換である。つまり $\sigma = (i\ j)$ と書ける。

$\Delta(x_1, \dots, x_n) = \prod_{1 \le k < l \le n} (x_k - x_l)$ について、$\sigma$ によって符号が変わる項を考える。

$x_i$ と $x_j$ を含む項は $(x_i - x_j)$ である。$\sigma$ によってこれは $(x_j - x_i) = -(x_i - x_j)$ となる。

それ以外の項 $(x_k - x_l)$ について、$\sigma$ が $x_k$ と $x_l$ のどちらか一方のみを含むとき、$(x_i - x_k)$の形の因子に影響を及ぼす。

$\Delta$の全ての因子を考えると、$\sigma$によって符号が変わる因子は$(x_i - x_j)$ のみである。したがって、$\sigma \Delta = -\Delta$ となる。

問題7:

$(\sigma \tau)f(x_1, \dots, x_n) = \sigma (\tau(f(x_1, \dots, x_n)))$.

$\sigma$と$\tau$は置換なので,置換の合成の定義から明らか。

問題8:

$\sigma \in S_n$ を互換の積で表す。$\sigma = \tau_1 \tau_2 \dots \tau_m$ とする。ここで、$\tau_i$ は互換である。

問題7より、

$\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = (\tau_1 \tau_2 \dots \tau_m) \Delta(x_1, \dots, x_n) = \tau_1(\tau_2(\dots(\tau_m \Delta(x_1, \dots, x_n))\dots))$.

問題6より、$\tau_i \Delta(x_1, \dots, x_n) = -\Delta(x_1, \dots, x_n)$ であるから、

$\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = (-1)^m \Delta(x_1, \dots, x_n)$.

$\text{sgn}(\sigma)$ が互換の積の表し方によらないことを示す。

$\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = (-1)^m \Delta(x_1, \dots, x_n)$ は $\sigma$ と $\Delta(x_1, \dots, x_n)$ によって一意に定まる。したがって、$(-1)^m$ は $\sigma$ によって一意に定まる。

$\text{sgn}(\sigma) = (-1)^m$ で定義されるので、$\text{sgn}(\sigma)$ は $\sigma$ の互換の積での表し方によらない。

3. 最終的な答え

問題6: $\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = -\Delta(x_1, \dots, x_n)$

問題8: $\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = (-1)^m \Delta(x_1, \dots, x_n)$。$\text{sgn}(\sigma)$ は $\sigma$ を互換の積で表したときの表し方によらない。