与えられた二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ を変形して、解の公式を導出してください。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ を変形して、解の公式を導出してください。

2. 解き方の手順

1. まず、二次方程式を $a$ で割ります。

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

2. 定数項 $\frac{c}{a}$ を右辺に移項します。

$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$

3. 左辺を平方完成させるために、$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ を両辺に加えます。

$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$

4. 左辺を因数分解し、右辺を整理します。

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

5. 両辺の平方根を取ります。

$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

6. $x$ について解きます。

$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

7. 共通の分母でまとめます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$