問題は、連続する2つの偶数の積に1を加えた数が、奇数の2乗になることを証明する過程の空欄を埋めるものです。特に、空欄$a$に当てはまる数式を答える必要があります。

代数学因数分解整数の性質証明
2025/7/20

1. 問題の内容

問題は、連続する2つの偶数の積に1を加えた数が、奇数の2乗になることを証明する過程の空欄を埋めるものです。特に、空欄aaに当てはまる数式を答える必要があります。

2. 解き方の手順

* 連続する2つの偶数は、nnを整数とすると、2n2n2n+22n+2と表されます。
* この2つの偶数の積に1を加えると、2n(2n+2)+12n(2n+2)+1となります。
* これを展開すると、4n2+4n+14n^2 + 4n + 1となります。
* 4n2+4n+14n^2 + 4n + 1は、(2n+1)2(2n+1)^2と因数分解できます。
* 2n+12n+1は奇数なので、(2n+1)2(2n+1)^2は奇数の2乗を表します。
* よって、2つの続いた偶数の積に1を加えた数は、奇数の2乗になることが証明されます。
したがって、空欄aaに当てはまる数式は、連続する2つの偶数の積に1を加える計算結果である、4n2+4n+14n^2 + 4n + 1を展開する前の状態である(2n+1)2(2n+1)^2となります。

3. 最終的な答え

(2n+1)2(2n+1)^2

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