次の方程式を解きます。 (1) $2x^2 - 3x - 1 = 0$ (2) $3x^2 - 4x + 5 = 0$ (3) $(x - 1)^2 + (x + 2)^2 = 0$ (4) $3x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0$ (5) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-3} = 2$ (6) $\sqrt{7 - 2x} = x - 2$

はい、承知いたしました。画像にある方程式を解きます。

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $2x^2 - 3x - 1 = 0$

(2) $3x^2 - 4x + 5 = 0$

(3) $(x - 1)^2 + (x + 2)^2 = 0$

(4) $3x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0$

(5) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-3} = 2$

(6) $\sqrt{7 - 2x} = x - 2$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 3x - 1 = 0$

解の公式を使用します。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$a = 2, b = -3, c = -1$ を代入します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $3x^2 - 4x + 5 = 0$

解の公式を使用します。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$a = 3, b = -4, c = 5$ を代入します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(5)}}{2(3)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 60}}{6}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-44}}{6}$

$x = \frac{4 \pm 2i\sqrt{11}}{6}$

$x = \frac{2 \pm i\sqrt{11}}{3}$

(3) $(x - 1)^2 + (x + 2)^2 = 0$

展開します。

$x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = 0$

$2x^2 + 2x + 5 = 0$

解の公式を使用します。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$a = 2, b = 2, c = 5$ を代入します。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(5)}}{2(2)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 40}}{4}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{4}$

$x = \frac{-2 \pm 6i}{4}$

$x = \frac{-1 \pm 3i}{2}$

(4) $3x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0$

この三次方程式を解くのは少し難しいです。有理根定理を使って根を探すか、数値解法を使う必要があります。

$x=-1$ を代入すると、$3(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 1 = -3 - 1 + 5 - 1 = 0$ なので、$x=-1$ は解の一つです。

したがって、$x+1$ は因数です。多項式除算を実行します。

$(3x^3 - x^2 - 5x - 1) / (x + 1) = 3x^2 - 4x - 1$

$3x^2 - 4x - 1 = 0$

解の公式を使用します。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$a = 3, b = -4, c = -1$ を代入します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

(5) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-3} = 2$

両辺に $(x-1)(x-3)$ をかけます。

$(x-3) - (x-1) = 2(x-1)(x-3)$

$x-3 - x + 1 = 2(x^2 - 4x + 3)$

$-2 = 2x^2 - 8x + 6$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

(6) $\sqrt{7 - 2x} = x - 2$

両辺を2乗します。

$7 - 2x = (x - 2)^2$

$7 - 2x = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3$ または $x = -1$

$x = 3$ の場合: $\sqrt{7 - 2(3)} = 3 - 2$

$\sqrt{1} = 1$

$1 = 1$

$x = 3$ は解です。

$x = -1$ の場合: $\sqrt{7 - 2(-1)} = -1 - 2$

$\sqrt{9} = -3$

$3 = -3$

$x = -1$ は解ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $x = \frac{2 \pm i\sqrt{11}}{3}$

(3) $x = \frac{-1 \pm 3i}{2}$

(4) $x = -1, x = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

(5) $x = 2$

(6) $x = 3$