$x^2 + 2y^2 = 1$ のとき、$x + 4y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x^2 + 2y^2 = 1$ のとき、$x + 4y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

条件式 $x^2 + 2y^2 = 1$ より、$2y^2 = 1 - x^2$ である。

これを $x + 4y^2$ に代入すると、

$x + 4y^2 = x + 2(2y^2) = x + 2(1 - x^2) = x + 2 - 2x^2 = -2x^2 + x + 2$

ここで、与えられた条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ より、$x^2 \le 1$ なので、$-1 \le x \le 1$ である。

$f(x) = -2x^2 + x + 2$ とおくと、$f(x) = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 2 = -2(x - \frac{1}{4})^2 + 2 + \frac{1}{8} = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{17}{8}$

したがって、$f(x)$ は、$x = \frac{1}{4}$ のとき最大値 $\frac{17}{8}$ をとり、

$f(1) = -2 + 1 + 2 = 1$

$f(-1) = -2 - 1 + 2 = -1$

である。

$-1 \le x \le 1$ であるから、

$x = \frac{1}{4}$ はこの範囲に含まれるので、$x = \frac{1}{4}$ のとき最大値 $\frac{17}{8}$ をとる。

$x = -1$ はこの範囲に含まれるので、$x = -1$ のとき最小値 $-1$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{17}{8}$

最小値: $-1$