条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ のもとで、$x + 4y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ のもとで、$x + 4y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2y^2 = 1$ から $2y^2 = 1 - x^2$ となるので、$y^2 = \frac{1 - x^2}{2}$ である。これを $x + 4y^2$ に代入する。

$x + 4y^2 = x + 4 \cdot \frac{1 - x^2}{2} = x + 2(1 - x^2) = x + 2 - 2x^2 = -2x^2 + x + 2$

$f(x) = -2x^2 + x + 2$ とおく。

$x^2 + 2y^2 = 1$ より、$x^2 \le 1$ なので、$-1 \le x \le 1$ である。

$f(x) = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 2 = -2(x - \frac{1}{4})^2 + 2 + \frac{1}{8} = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{17}{8}$

よって、$f(x)$ は $x = \frac{1}{4}$ で最大値 $\frac{17}{8}$ をとる。

また、$x = -1$ のとき $f(-1) = -2(-1)^2 + (-1) + 2 = -2 - 1 + 2 = -1$

$x = 1$ のとき $f(1) = -2(1)^2 + 1 + 2 = -2 + 1 + 2 = 1$

したがって、$-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値は $x = \frac{1}{4}$ のときの $\frac{17}{8}$ であり、最小値は $x = -1$ のときの $-1$ である。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{17}{8}$

最小値：$-1$