袋の中に赤玉が $n-7$ 個、白玉が7個入っている。合計 $n$ 個の玉が入っている。ただし、$n \ge 10$ である。この袋から一度に5個の玉を取り出したとき、赤玉が3個、白玉が2個取り出される確率を $P_n$ とする。$P_n$ が最大となる $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が $n-7$ 個、白玉が7個入っている。合計 $n$ 個の玉が入っている。ただし、$n \ge 10$ である。この袋から一度に5個の玉を取り出したとき、赤玉が3個、白玉が2個取り出される確率を $P_n$ とする。$P_n$ が最大となる $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$P_n$ を計算する。5個の玉を取り出す方法は全部で $_nC_5$ 通りである。そのうち、赤玉が3個、白玉が2個である取り出し方は、$_{n-7}C_3 \times _7C_2$ 通りである。したがって、

$P_n = \frac{_{n-7}C_3 \times _7C_2}{_nC_5}$

となる。$P_n$ が最大となる $n$ を求めるために、$P_{n+1}/P_n$ を計算する。

$P_{n+1} = \frac{_{n-6}C_3 \times _7C_2}{_{n+1}C_5}$

なので、

$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{\frac{_{n-6}C_3 \times _7C_2}{_{n+1}C_5}}{\frac{_{n-7}C_3 \times _7C_2}{_nC_5}} = \frac{_{n-6}C_3}{_{n-7}C_3} \times \frac{_nC_5}{_{n+1}C_5} = \frac{\frac{(n-6)!}{3!(n-9)!}}{\frac{(n-7)!}{3!(n-10)!}} \times \frac{\frac{n!}{5!(n-5)!}}{\frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}} = \frac{n-6}{n-9} \times \frac{n-4}{n+1}$

$\frac{P_{n+1}}{P_n} > 1$ となる $n$ を求める。

$\frac{n-6}{n-9} \times \frac{n-4}{n+1} > 1$

$(n-6)(n-4) > (n-9)(n+1)$

$n^2 - 10n + 24 > n^2 - 8n - 9$

$33 > 2n$

$n < 16.5$

$P_{n+1}/P_n > 1$ となる最大の $n$ は $n=16$ である。

したがって、$n=16$ のとき $P_{17} > P_{16}$ であり、$n=17$ のとき $P_{18} < P_{17}$ である。

$n \le 16$ のとき、$P_{n+1} > P_n$ であり、$n \ge 17$ のとき、$P_{n+1} < P_n$ である。

したがって、$P_n$ が最大となるのは $n=17$ のときである。

3. 最終的な答え

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