与えられた式 $a^4 - 81b^4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^4 - 81b^4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$a^4 - 81b^4$ を二乗の差の形に書き換えます。

$a^4 = (a^2)^2$ であり、$81b^4 = (9b^2)^2$ であるため、

$a^4 - 81b^4 = (a^2)^2 - (9b^2)^2$ となります。

次に、二乗の差の公式 $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ を用いると、

$(a^2)^2 - (9b^2)^2 = (a^2 + 9b^2)(a^2 - 9b^2)$ となります。

さらに、$a^2 - 9b^2$ も二乗の差の形であることに注目します。

$a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2$ と書き換えられ、再度二乗の差の公式を用いると、

$a^2 - (3b)^2 = (a + 3b)(a - 3b)$ となります。

したがって、$a^4 - 81b^4 = (a^2 + 9b^2)(a^2 - 9b^2) = (a^2 + 9b^2)(a + 3b)(a - 3b)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a^2 + 9b^2)(a + 3b)(a - 3b)$