与えられた積分 $\int x \sin x \, dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x \sin x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。部分積分の公式は以下の通りです。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

ここで、$u = x$ および $dv = \sin x \, dx$ とします。

すると、以下のようになります。

$du = dx$

$v = \int \sin x \, dx = -\cos x$

したがって、部分積分の公式に代入すると、

$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx$

$= -x \cos x + \int \cos x \, dx$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$ (Cは積分定数)

したがって、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

3. 最終的な答え

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$