$\int x^2 \cos x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int x^2 \cos x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回行うことで解けます。

ステップ1：部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用います。

$u = x^2$, $dv = \cos x dx$ とおくと、$du = 2x dx$, $v = \sin x$ となります。

したがって、

$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - \int \sin x (2x) dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x dx$

ステップ2：$\int x \sin x dx$ を部分積分で計算します。

$u = x$, $dv = \sin x dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x$

ステップ3：ステップ1の結果にステップ2の結果を代入します。

$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + C = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$

3. 最終的な答え

$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$