$\int x^2 e^x dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int x^2 e^x dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いる。

まず、$u = x^2$ と $dv = e^x dx$ とおくと、$du = 2x dx$、$v = e^x$ となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int e^x (2x) dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx$

次に、$\int x e^x dx$ を計算する。

$u = x$ と $dv = e^x dx$ とおくと、$du = dx$、$v = e^x$ となる。

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$

したがって、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = (x^2 - 2x + 2) e^x + C$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 2x + 2)e^x + C$