ベクトル場 $\mathbf{A} = (xz^3, -2x^2yz, 2yz^4)$ の回転を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\mathbf{A} = (xz^3, -2x^2yz, 2yz^4)$ の回転を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル場 $\mathbf{A} = (P, Q, R)$ の回転 (curl) は、以下のように計算されます。

$\text{curl} \, \mathbf{A} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$

この問題では、$P = xz^3$, $Q = -2x^2yz$, $R = 2yz^4$ です。したがって、各偏微分を計算すると：

* $\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2yz^4) = 2z^4$

* $\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (-2x^2yz) = -2x^2y$

* $\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (xz^3) = 3xz^2$

* $\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2yz^4) = 0$

* $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (-2x^2yz) = -4xyz$

* $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xz^3) = 0$

これらを回転の公式に代入すると：

$\text{curl} \, \mathbf{A} = (2z^4 - (-2x^2y), 3xz^2 - 0, -4xyz - 0) = (2z^4 + 2x^2y, 3xz^2, -4xyz)$

3. 最終的な答え

ベクトル場 $\mathbf{A} = (xz^3, -2x^2yz, 2yz^4)$ の回転は、

$\text{curl} \, \mathbf{A} = (2z^4 + 2x^2y, 3xz^2, -4xyz)$

となります。