$\int x^2 \log x \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int x^2 \log x \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算する。部分積分の公式は、

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

である。

ここでは、$u = \log x$ および $dv = x^2 \, dx$ とおく。すると、

$$du = \frac{1}{x} \, dx$$

および

$$v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$

となる。したがって、

$$\int x^2 \log x \, dx = (\log x) \left( \frac{x^3}{3} \right) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

$$= \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^2}{3} \, dx$$

$$= \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx$$

$$= \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C$$

$$= \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$